Como hemos comentado en posts anteriores, el objetivo del control estadístico es vigilar o monitorear el proceso, con el propósito de detectar cualquier cambio en la media o la variabilidad de la variable monitoreada, y de darse un cambio indeseado, poder tomar medidas correctivas.
Probablemente el primer gráfico de control de variables fue el gráfico de control XBarra-R, y su uso fue más ampliamente usado que el gráfico XBarra-S, más bien por cuestiones prácticas. El gráfico de control y por consiguiente, el control estadístico de proceso nació en los años veintes del siglo que acaba de pasar, y su creador fue el estadístico Walter Shewhart. Normalmente el gráfico de control se llevaba y normalmente se sigue llevando en piso, directamente en la línea de producción. Y el trabajador a la hora de tomar una muestra y tratar de realizar cálculos con ella obviamente era más fácil calcular el rango de la muestra que la desviación estándar de la muestra, debido que en ese tiempo no había calculadoras, así que se impuso el gráfico de control XBarra-R sobre el gráfico XBarra-S, por motivos prácticos.
La fuerza de la tradición es muy fuerte, hoy se siguen empleando los gráficos de control XBarra-R, más que los gráficos XBarra-S, aún y cuando el gráfico S (de desviaciones estándar) tiene mejores propiedades estadísticas que el gráfico R (de rangos). Y esto es debido principalmente a que el rango para su cálculo utiliza únicamente dos valores de la muestra (el valor máximo y el valor mínimo de la muestra), mientras que la desviación estándar utiliza todos los valores de la muestra. Así que por su definición, el rango desperdicia información. La única situación en que el gráfico de control R y el S, son igualmente eficientes es cuando el tamaño de la muestra o el subgrupo es 2. Para tamaños de muestra de tres en adelante, el gráfico S es más eficiente que el gráfico R, ya que produce menos falsas alarmas.
Gráfico de Control XBarra.
Bien, recordemos que los gráficos de control XBarra-R, son gráficos de tres sigmas, de tres desviaciones estándar, según como los concibió Shewhart, en ese sentido tenemos que:
Entonces los límites de control del gráfico XBarra (de medias), está en función de la media de la distribución de medias y la desviación estándar de la distribución de las medias.
Antes de continuar, daremos algunas relaciones entre algunos estimadores, los cuales necesitaremos para el desarrollo, alguna de estas ecuaciones probablemente sea común para algunos (sobre todo la primera que enunciaremos), pero otras tal vez no.
La relación que probablemente muchos recuerden es la siguiente que relaciona la desviación estándar de la media, con la desviación estándar de la variable original, esto es:
La otra relación es:
Si recordamos, en algún post anterior, cuando hablábamos de los fundamentos del Control Estadístico de Proceso y específicamente de los subgrupos racionales, decíamos que en los gráficos de control se trabajaba con la variabilidad dentro de un subgrupo, o variabilidad de corto plazo (short term variability en inglés), así que en la ecuación anterior tenemos la desviación estándar de corto plazo (short term) de la variable x, definida en función del rango medio, esto es muy importante.
Podemos tener la variabilidad de largo plazo, la cual se utiliza generalmente y calcula Excel y otros tipos de software; tenemos la variabilidad entre subgrupos, y tenemos la variabilidad dentro del subgrupo o de corto plazo, esta última variabilidad es la que utilizamos en los gráficos de control.
Entonces combinando las dos últimas ecuaciones tenemos que:
Finalmente tenemos que:
Antes diremos que un estimador de la media de la distribución de medias es la siguiente:
Suponiendo que se tengan m subgrupos o muestras para estimar la media de la distribución de medias, y que este estimador será la línea central del gráfico de medias. Utilizando las dos últimas fórmulas, en la ecuación original que habíamos establecido para los límites de control del gráfico de medias, tendemos:
Donde hicimos:
Las ecuaciones para el cálculo de los límites del gráfico de control de medias nos queda finalmente como:
Gráfico de Control de Rangos, Gráfico R.
Por la definición de gráfico de control de tres sigmas, éste es de la forma:
Ahora, un estimador para la media de la distribución de rangos es RBarra, así que:
Por otra parte, se tiene una relación entre la desviación estándar del rango y la desviación estándar de la variable original que es la siguiente:
Pero también habíamos comentado anteriormente que existe una relación entre la desviación estándar de la variable original y RBarra la cual viene dada por:
Combinando las dos ecuaciones anteriores:
Entonces ya tenemos estimaciones de la media y la desviación estándar del rango en función del rango medio o RBarra, haciendo las sustituciones en las ecuaciones para los límites de control, tenemos:
Si le llamamos:
y,
Las ecuaciones para los límites de control del gráfico de Rangos nos quedan finalmente como:
